为[ h =-t\sum_{j=1}^{n}(c_{j\uparrow}^{\er}c_{j+1\uparrow}+ c_{j\downarrow}^{\er}c_{j+1\downarrow}+ext{.})

请证明：系统的基态在一定条件下可能发生自旋密度波（spiy wave，sdw）相变，即在系统中形成自旋有序的周期性排列。请分析该模型在零温度下的自旋密度波相变条件，并给出相应的物理解释。

第二道题则是关于他所研究的超越几何。

乔泽把问题命名为穿越维度之门，题目不难，但很特殊。

问题描述如下：

假如在宇宙中存在一扇神秘的维度之门，该维度之门连接了四维空间和六维空间，其数学描述为：[ v =\int d^4x \sqrt{g}\left(\frac{1}{2}\mathbf{r}+\frac{1}{2}abla\phi \cdot abla\phi - v(\phi)ight)]

其中，( v )表示该维度之门的作用量，(\sqrt{g})是四维时空的度规平方根，(\mathbf{r})是四维时空的标量曲率，(abla\phi )是六维空间的标量场梯度，而( v(\phi))是与标量场相互作用的势能项。

在这个六维空间中，一条曲线( bsp;)被定义为连接维度之门两侧并且满足以下条件的路径。路径( bsp;)的长度为( l )，且它的作用量最小。考虑到在四维空间中度规为(\sqrt{g}= 1 )，标量场为(\phi =\phi_0 )。

请求解：在六维空间中作用量最小的曲线( bsp;)。

提示：可以用超螺旋空间的相关性理论进行求解，其最小作用量应对于路径(\mat